電感和電容在 Buck 轉(zhuǎn)換器中構(gòu)成低通濾波器，此 LC 濾波器的轉(zhuǎn)折頻率總是設(shè)計得較低以便濾除開關(guān)紋波。常用的設(shè)計規(guī)則是，電感電流紋波被設(shè)計成電感平均電流的 30% 左右。本文引入表達電感紋波電流和其平均電流的比值的紋波系數(shù)的概念并由它導(dǎo)出電感尺寸的表達式。通過利用面積積的概念和方法來設(shè)計電感，可以獲得一個優(yōu)化的紋波系數(shù)范圍，這對進行轉(zhuǎn)換器設(shè)計時選擇合適的電感具有很大的幫助。

1. 介紹

Buck 轉(zhuǎn)換器被廣泛應(yīng)用于大量的降壓應(yīng)用中，板上負(fù)載點轉(zhuǎn)換器是這種應(yīng)用的典型例子。從原理上看，它就是用一個功率開關(guān)和一個自動運行的續(xù)流二極管構(gòu)成一個斬波電路將輸入電壓變成一個矩形波，再通過一個低通 LC 濾波器濾除高頻開關(guān)紋波和噪聲以后生成一個基本上是純粹直流電壓供給負(fù)載使用的電路。圖1 顯示了典型的Buck 電路和他的開關(guān)波形。

圖1. (a) 典型的 Buck 電路 (b) 開關(guān)波形

當(dāng)功率開關(guān) Q1 導(dǎo)通時，續(xù)流二極管反向偏置，輸入電流直接通過 LC 濾波器流向負(fù)載；當(dāng) Q1 關(guān)閉時，電感電流 iL 強制 D1 正向偏置導(dǎo)通。開關(guān)電壓波形如圖1所示為矩形脈沖。經(jīng)過 LC 濾波以后，假設(shè) LC 濾波器的轉(zhuǎn)折頻率遠(yuǎn)低于開關(guān)工作頻率，輸出電壓基本上是純粹的直流狀態(tài)。

從濾波器理論很容易理解到，增加電感、減小電容可以導(dǎo)致同樣的輸出紋波效果，但是大電感會導(dǎo)致大體積和高成本的結(jié)果，反之，使用小電感則要求使用大電容，這并不是一個純粹的設(shè)計取舍問題。

為了探討此問題，讓我們從穩(wěn)態(tài)下的電感電流開始思考。

當(dāng)功率開關(guān)導(dǎo)通 (ON) 時，加在電感上的電壓是輸入電壓和輸出電壓之間的電壓差：

電感電流將從 iL(0) 開始線性增加：

當(dāng)功率開關(guān)截至 (OFF) 時，加在電感上的電壓與輸出電壓相同，但極性相反：

在此期間，電感電流將以斜率從 iL(Ton) 開始線性減少：

根據(jù)電感伏秒平衡的特性，很容易從式 (1) 和 (3) 得到電壓傳輸比：

這也就是占空比。與圖1(b) 進行比較，LC 濾波器工作起來就像一個平均函數(shù)，而占空比 D 就定義為開關(guān)管的導(dǎo)通時間和一個開關(guān)周期的比。

2. 紋波系數(shù)
圖2 所示為電感電流波形。因為電感所受電壓是矩形脈沖波，所以電感電流是包含一個支流分量的三角波。

圖2. 電感電流波形電感紋波電流值被定義為

很明顯，負(fù)載電流可表達為

紋波系數(shù)可被定義為

當(dāng)紋波系數(shù)小于2時，轉(zhuǎn)換器工作在連續(xù)導(dǎo)通模式 (Continous ConducTIon Mode, CCM)，否則就是非連續(xù)導(dǎo)通模式 (DisconTInuous ConducTIon Mode, DCM)。由于連續(xù)導(dǎo)通模式下功率元件所受電流應(yīng)力較低，工作在滿載狀態(tài)下的 Buck 轉(zhuǎn)換器一般都被設(shè)計成工作在這種模式下。因此，本文也只對連續(xù)導(dǎo)通模式進行討論。

等式(8)可以被表現(xiàn)為電壓相關(guān)的形式：

對于一個固定的電感量而言，輸入電壓越高，紋波系數(shù)就越高。當(dāng)輸入電壓固定時，電感量越小，紋波系數(shù)就越高。紋波系數(shù)越高，意味著流過電容的紋波電流越大，對于相同的紋波電壓需求來說，就需要更大的電容量。

3. 電感的面積積
從前面的描述中我們已經(jīng)知道，開關(guān)導(dǎo)通期間電感儲存能量，開關(guān)截至期間電感釋放能量。從原理上講，負(fù)載電流會流過電感，所以足夠的線圈空間是必須的。假如設(shè)計了較低的紋波系數(shù)（或是較高的電感量），較多的線圈匝數(shù)就是必須的，這將導(dǎo)致更大的電感尺寸。我們要在這里引入一個面積積 (Area Product, AP) 的概念來表征電感尺寸，它是磁芯的有效橫截面積和線圈窗口面積的乘積，其單位是 m4 而不是表達體積的 m3，但面積積是和磁芯的體積成正比的。

根據(jù)法拉第定律電感量 (L)、峰值電流 (ipk) 個磁芯之間的關(guān)系可以表達為

其中，ipk = io + 1/2 ΔiL，N 是線圈匝數(shù)，Bm 是磁芯的最大磁通密度，AC 是磁芯的有效橫截面積對于線圈，有下列等式成立

其中，AWT 線圈導(dǎo)體的橫截面積，J 導(dǎo)體中的電流密度，kW 是磁芯的填充系數(shù)，Wa 是線圈窗口面積。結(jié)合 (10) 和 (11) 式，我們可以得到

電感的電流有效值可用它的直流分量和交流分量來表達：

等式 (12) 可被重寫為

圖3 顯示了磁芯在不同占空比下的歸一化尺寸和紋波系數(shù)之間的關(guān)系。

圖3. 不同占空比下紋波系數(shù)和電感尺寸之間的關(guān)系

當(dāng)紋波系數(shù)很低時，磁芯尺寸顯著地增加；當(dāng)紋波系數(shù)較高時，磁芯尺寸幾乎沒有什么變化。這意味著在曲線拐彎的區(qū)域存在一個最優(yōu)化的地帶。從原則上講，高紋波系數(shù)意味著濾波電容也要大，反之亦然。舉例言之，當(dāng)D= 0.3 時，紋波系數(shù)可以設(shè)定在 0.2~0.4 之間，這樣可以得到比較合適的磁芯尺寸和電容尺寸。

4. 一個設(shè)計示例
一個開關(guān)工作頻率為 300kHz 的 Buck 轉(zhuǎn)換器要在下列條件下工作：
Vin = 4 ~ 12V, Vout = 1.8V, Io = 6A, ΔVo = 10mV （輸出電容上的紋波電壓）。設(shè)計中假設(shè)功率開關(guān)和續(xù)流二極管都是理想的，表1 顯示了用傳統(tǒng)方法按照 30% 紋波系數(shù)計算出的電感量，而按照本文提案的面積積方法得出的經(jīng)過優(yōu)化的計算結(jié)果在表2 中列出。

表1. 傳統(tǒng)方法 30% 紋波系數(shù)計算結(jié)果

表2. 優(yōu)化后方法計算結(jié)果

在表1中，傳統(tǒng)的計算方法設(shè)定了相同的紋波電流值，因而輸入電壓較高時電感值就較大；而在表2中應(yīng)用的是面積積的計算方法，不同輸入電壓下的電感量基本上是相同的，但輸入電壓較高時紋波電流也較大。在實際的高頻設(shè)計實踐中，常常采用 POCAP 或 MLCC 作為輸出電容，它們都具有極低的串聯(lián)等效電阻，因此要得到紋波電壓指標(biāo)是很容易的。

5. 總結(jié)
本文提出了一種 Buck 轉(zhuǎn)換器設(shè)計中電感尺寸和紋波電流之間關(guān)系的理論分析方法，利用面積積方法可在不同輸入電壓下得到優(yōu)化的紋波系數(shù)范圍，可作為 Buck 轉(zhuǎn)換器設(shè)計中優(yōu)化電感設(shè)計的指南予以利用。